With the current rules: France's data protection laws would apply to the processing done by head office, but individual shops would still have to report to their national data protection authority, to confirm they were processing data in accordance with national laws in the country where they were located.
En vertu des règles en vigueur: la législation française en matière de protection des données s'appliquerait au traitement effectué par le siège social, mais les magasins dépendraient de leur autorité nationale de protection des données, à laquelle ils devraient confirmer que leur traitement des données est bien conforme à la législation nationale du pays dans lequel ils sont sis.